【連載|人を数学する】第3回 恋愛を数学する

1988年の論文「恋愛と微分方程式」

恋愛と数学ときいてその関係を想像できる人は多くないでしょう。恋愛と文学、恋愛と映画、恋愛と音楽、恋愛と旅行、どれもすぐに関係がわかります。恋愛をすることこそ人間の特権です。数学が恋愛と無関係のはずがありません。

1988年、アメリカの数学者ストロガッツは論文「恋愛と微分方程式各(Love Affairs and Differential Equations) 」を発表しました。今回はその内容を紹介します。

恋愛は勢い

人を好きなる時、その好き具合を私たちは感じることができます。どれくらい相手のことが好きなのか、どれほど自分は相手に好かれているか。量を測定することはできませんが確かに私たちの感覚は量を捉えています。

一目惚れして相手に自分の気持ちを告白するまでは日々、好き具合のレベルは増加していきます。逆に、相手の何気ない一言で百年の恋も一瞬で冷めてしまうこともあります。これは好き具合が急激に小さくなるといえます。

モデリング

このように好き具合は刻々変化する量と考えることができます。これまでの連載で繰り返し説明したように、刻々変化する量の変化の勢いを数学では微分といいます。第0回の感覚年齢、第1回の五感の感覚量、第2回の人口そして今回が好き具合のレベルです。この中で実際に測ることができるのは人口だけです。

物理学は測ることができる量──長さ、重さ、時間──を扱い、それらをx、y、z、tという変数で表すことで数学の出番となります。時間とともに変化する長さや重さについて微分・積分することで現象の仕組みを探り出すことができ、さらに未来を予測することさえ可能になります。これをモデリングといいます。

感覚年齢、感覚量、好き具合のレベルといった測定できない量でもいったんx、y、zとおくならば数学の出番となる点は物理学と同じなのです。経済学もモデリングにより成り立っています。商品を買おうとする時に、買いたい気持ちのレベルがあることは明らかです。さらにお金を払って商品を手にした時の気持ちにもレベルがあります。経済学ではこのような人の気持ちのレベルを効用といいます。効用をxで表すことで数学の出番となり、微分・積分ができることになります。経済学も物理学と同じようにモデリングにより成立する科学です。

恋愛のモデリング 恋レベルRとJ

男女2人の恋愛をモデリングを考えてみましょう。刻々変化する「好き具合のレベル」は何によって決まるでしょうか。

ここでは「好き具合のレベル」を簡単に「恋のレベル」「恋レベル」とします。ストロガッツの論文では恋レベルがR、Jと名付けられています。それぞれRomeoとJulietの頭文字です。

次がストロガッツが考えた恋愛のモデルです。微分方程式が2本あります。恋の連立微分方程式です。この方程式を解くことで、恋の成り行きが分かるというのです。

恋レベルであるRとJは時刻tで決まる量です。それがR(t)、J(t)ということです。R(t)は時刻tにおけるRomeoのJulietに対する恋のレベルです。J(t)は時刻tにおけるJulietのRomeoに対する恋のレベルです。

恋レベルR(t)、J(t)は刻々変化する量です。そこで微分(勢い)を考えることができます。RomeoがJulietのことをどんどん好きになっていく時は恋レベルR(t)の勢い(微分)が正だということです。JulietがRomeoのことをどんどん嫌いになっていく時は恋レベルJ(t)の勢い(微分)が負だということです。

恋の微分方程式

R(t)、J(t)の微分がそれぞれdR(t)/dt、dJ(t)/dtです。この恋レベルの微分(勢い)が何によって決まるのかを考えてみます。本当の恋の方程式は真に難しい問題です。ですからモデル──できるだけシンプルな仕組みを考えます。

恋の炎をたきつけるのは、自分自身の想いと相手からの想いであると考えられます。相手に会えない時に、相手のことを想い続けているとどんどん好き(嫌い)になっていくものです。

そして、相手からラブレターやメールでメッセージを受け取ることで相手をどんどん好き(嫌い)になるでしょう。

したがって、Romeoの恋レベルの微分(勢い)dR(t)/dtは、自分Romeoの相手に対する恋レベルR(t)と相手の自分に対する恋レベルJ(t)の和となります。ここで、dR(t)/dtへの影響の仕方でR(t)、J(t)に係数をかけておきます。同様に、Julietの恋レベルの微分(勢い)dJ(t)/dtは、自分Julietの相手に対する恋レベルJ(t)と相手の自分に対する恋レベルR(t)の和となります。

こうして、Romeo、Julietそれぞれの恋の微分方程式を立てることができます。

恋の連立微分方程式を解く

微分方程式の右辺にみえる係数a,b,c,dが二人の恋愛傾向・特徴を表します。これが決まれば、次に初期値(恋のはじまり)を決めます。RomeoがJulietのことを一目惚れしし、JulietはRomeoのことが嫌いだったとすると初期値はR(0)=1、J(0)=-1と表されます。これで微分方程式を解くお膳立てが整いました。

現代はコンピューターでこの連立微分方程式+初期値の問題を簡単に解くことができます。そして、その結果をグラフに表すことで時間とともに二人の恋レベルの変化の推移を知ることができます。

さっそく以下に3つのロマンスモデルを見ていきます。注目すべき点は、初期値(恋のはじまり)によって、恋の結末がどうなるかです。

素直な二人のロマンスモデル

2人とも自分の気持ちに素直に反応し、相手からの想いにも素直に反応するとします。自分が相手を好きであればどんどん好きになり、相手が自分を好きだと知れば相手をどんどん好きになるという場合です。

初期値が両想い、片想い、お互い嫌いの3ケースを考えてみます。これは方程式を解くまでもなく予想がつきます。コンピューター・シミュレーションの結果は、両想いであればどんどん好きになっていく、つまり結末は二人の恋レベルが爆発するということです。片想いとお互い嫌いはそれぞれ片想いが爆発し、お互いをどんどん嫌いになるということです。

瓜二つの二人のロマンスモデル

2人とも、相手への想いは素直でない(好きなるほど覚めていく)が、相手からの想いには素直に反応するモデルです。前半が係数aとcが負、後半が係数bとdが正を表します。瓜二つなのでそれらの値も同じとします。

初期値は前のモデルと同じ3つの場合を考えます。コンピューター・シミュレーションの結果はどの場合も、収束値が原点(0,0)となります。R(t)とJ(t)が0ということなのでお互い無関心というのが恋の結末です。


不運なロマンスモデル

RomeoはJulietから好かれるとどんどんJulietを好きになり、逆にJulietはRomeoに好かれるとどんどんRomeoを嫌いになる場合です。

この結論は実に興味深いものとなります。相思相愛→片想い→大げんか→片想い→相思相愛、のループになります。それも初期値が前の3つの場合のどれからはじめてもです。

まさに恋の無限ループです。このようなカップルはいます。喧嘩をして仲が悪くなったとおもうといつのまにかラブラブになっている2人です。この2人の恋愛傾向・特徴がこの微分方程式で表されるということです。

数学の実力

数学と恋愛、はじめは想像もつかなかったかもしれません。でも実例をみていくと確かに恋愛にもモデルを考えることができると気づかされるでしょう。

そうはいっても、自然現象と同じように恋愛までも数学で解かれてしまうことに違和感を感じるでしょう。私たちはモデルを立てて微分方程式を解いて恋に落ちるのではありません。自然もそうです。

現代の天気予報は地球の気候モデルの上に成り立っています。AI(人口知能)は私たち人間の認知機能モデリングの応用です。どちらも現代の生活を支える存在となっています。

「なぜ」を解き明かしたいと思う私たちの心が数学をつくりだしました。その数学が持つ力を私たちは知り始めたばかりです。

 

執筆者プロフィール

桜井 進(さくらい すすむ)

1968年山形県東根市生まれ。サイエンスナビゲーターⓇ。株式会社sakurAi Science Factory 代表取締役CEO。東京理科大学大学院非常講師。東京工業大学理学部数学科卒。同大学大学院院社会理工学研究科博士課程中退。小学生からお年寄りまで、誰でも楽しめて体験できる数学エンターテイメントは日本全国で反響を呼び、テレビ・新聞・雑誌など多くのメディアに出演。著書に『雪月花の数学』『感動する!数学』『わくわく数の世界の大冒険』『面白くて眠れなくなる数学』など50冊以上。
サイエンスナビゲーターは株式会社sakurAi Science Factoryの登録商標です。
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