【連載|人を数学する】第4回 ナポレオンの法則 戦争の微分方程式

1805年のトルファルガー海戦

1805年、提督ネルソン率いるイギリス海軍はナポレオン率いるフランス・スペイン連合艦隊に大勝利を収めました。スペインのトラファルガー岬の沖で行われたトラファルガー海戦です。ナポレオン戦争における最大の海戦で、イギリスはこの海戦の勝利により、ナポレオンの英本土上陸の野望を粉砕しました。

トラファルガー海戦が注目されるのは、イギリス33隻対フランス41隻というイギリス不利の中でイギリスが勝利した点にあります。

この勝因を分析する時に数学の出番となります。最大のポイントは、敵イギリス艦隊を分断するネルソンの戦術です。33隻のイギリス艦隊が分断したフランス艦隊をそれぞれを叩いていくことで勝利に導きました。

いま簡単に41隻のフランス側を20隻と21隻に分断したとしましょう。すると、イギリスとフランスの戦隊の数は、最初の戦闘で33:20、次に33:21となります。これならば形勢が逆転します。

そもそも開戦当初の戦力のままでもなんとか戦えるのではないかとも思われます。33:41はイギリスが圧倒的不利ではなさそうです。しかし、実はこれがそうではないのです。33隻のイギリスが41隻のフランスに立ち向かっていく場合、イギリスは圧倒的不利、勝ち目はなかったのです。

ナポレオンの法則(兵力2乗の法則)

英仏戦力比は隻数の比33:41=1:1.24(約1.2倍)ではありません。結論を急げば、33の2乗:41の2乗、となります。したがって、1089:1681=1:1.54(約1.5倍)となり1:1.24よりも差がひらいていることがわかります。

なぜこうなるのかを説明するのが微分方程式ですが、それは後回しにして、このナポレオンの法則をもう少しだけくわしくみていきましょう。あらためてナポレオンの法則とは、簡単に言えば「戦力は、数(戦闘員、隻数)の2乗に比例する」というものです。
トラファルガー海戦では、戦闘員の代わりに隻数(イギリス33隻、フランス41隻)を考えます。もし、隻数が小さいイギリスがフランスによって全滅させられた場合フランスは何隻残るでしょうか。ナポレオンの法則によって次のように計算できます。
√(41の2乗 − 33の2乗)=24
フランスは当初の半分以上の24隻が残るという計算です。

ネルソンがとった戦略はフランス41隻に体当たりしては勝ち目がないので、半分ずつを順にたたいていこうというものでした。先にも述べたように、最初33:20、次に33:21のように分けて闘ったとすると、ナポレオンの法則によって戦力は次のように計算されます。
英:仏=33:20 → 33の2乗:20の2乗=1089:400=1:2.72(約2.7倍)
英:仏=33:21 → 33の2乗:21の2乗=1089:441=1:2.47(約2.5倍)
どちらも形勢逆転となります。

ナポレオンの法則(兵力2乗の法則)の意味すること

簡単のために小さい数で説明してみましょう。イギリスが3隻、フランスが4隻だとした場合、その差は1隻だけなので大差ないように思われますが、ナポレオンの法則は
英:仏=3:4(約1.3倍)→ 3の2乗:4の2乗=9:16(約1.7倍)
になるということです。

これは、たとえ最初の隻数の差がわずかであっても、差が時間が経つにつれ大きくなっていき最後には大差がつくことを表しています。逆に言えば、人数(隻数)が大きければ大きいほど有利な戦いになるということです。

ナポレオンの法則の別名、集中効果の法則

ナポレオンの法則はその特徴から様々な呼び方がされます。集中効果の法則もその一つです。トラファルガー海戦からわかるように、軍隊はできるだけ一丸となり一箇所に集中して攻めた方が敵をやっつけるのには効果的だということです。逆に言えば、戦力を2分割、3分割しては弱くなるだけでやってはいけない戦術だということです。

ナポレオンの法則の応用

ナポレオンの法則は私たちに「戦力を集中せよ」とおしえてくれます。例えば、宿題がたくさんある場合、すべてを一気に終わらせようとするとやる気がそがれてしまい手が付けられなくなる経験を誰もがします。

そんな時こそナポレオンの法則(集中効果の法則)を思いだしましょう。国語、数学、英語の宿題があるとき、まずは国語(という敵)だけに集中して戦います。国語を制したならば、次に数学、数学を制したら最後に英語というように1つずつ片付けていく戦術が効果的だということです。

ドイツのフォルクスワーゲン社は他社と競争販売を行う場合に、まず自社独占率が40%を超える値域を1つつくることを最初の目標にする販売戦略を実施しました。エリア全域を一気に相手にするのではなく「戦力を集中せよ」の原則です。

フレデリック・ウィリアム・ランチェスター

以上説明したナポレオンの法則を研究したのがランチェスター(1868-1946)です。イギリスの自動車工学・航空工学のエンジニアです。1916年に「戦争における飛行機-第四の武器のあけぼの」を発表。このレポートの中で、ネルソンやナポレオンの戦法を数学的に分析を行いナポレオンの法則(兵力2乗の法則)を導きました。

最後にその数学を紹介してみましょう。これまでの連載を読んでこられた方ならば理解しやすくなっているでしょう。

時刻tにおけるイギリス軍とフランス軍の人数(隻数)をそれぞれE、Fとします。簡単のため両軍の1人(1隻)同士の強さは同じとします。

すると、戦闘によるイギリス軍人数(隻数)の減少速度(勢い)は敵フランス軍の軍人数(隻数)に比例し、逆にフランス軍人数(隻数)の減少速度(勢い)は敵イギリス軍の軍人数(隻数)に比例すると考えられます。

これを表したのが次の微分方程式です。右辺のマイナスがついているのは減少を表しています。

この連立微分方程式を解くと、
Eの2乗−Fの2乗=定数
という結論が得られます。戦力の差が人数(隻数)の2乗の差だということです。

子供は学校の宿題、大人は会社の仕事、私たちは常に片付けなければならないことに囲まれています。それらは戦争の敵ではありませんが、片付けられない時には負けた気持ちにはなります。ナポレオンの法則(集中効果の法則)を思いだして立ち向かってみましょう。そして片付け終わったときに兵力2乗の法則であることを考えてみてください。

執筆者プロフィール

桜井 進(さくらい すすむ)

1968年山形県東根市生まれ。サイエンスナビゲーターⓇ。株式会社sakurAi Science Factory 代表取締役CEO。東京理科大学大学院非常講師。東京工業大学理学部数学科卒。同大学大学院院社会理工学研究科博士課程中退。小学生からお年寄りまで、誰でも楽しめて体験できる数学エンターテイメントは日本全国で反響を呼び、テレビ・新聞・雑誌など多くのメディアに出演。著書に『雪月花の数学』『感動する!数学』『わくわく数の世界の大冒険』『面白くて眠れなくなる数学』など50冊以上。
サイエンスナビゲーターは株式会社sakurAi Science Factoryの登録商標です。
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